Модульные уравнения 10 класс

Модульные уравнения 10 класс

         

 Исследовательская работа

«Построение графиков

функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины»

                           

                                                             

                                                         

                                                2008  

               

Оглавление.

I. Введение——————————————————————————1

II. Основная часть.——————————————————————-1-13

    1. Историческая справка——————————————————- -3-4

    2.  Геометрическая интерпретация понятия |—————————- -4-5

    3.  График функции у=f |(х)|——————————————————5-8

    4. График функции у = | f (х)|  —————————————————8-10

    5. График функции  у=|f |(х)| | — —- ——————————————10-13

III. Заключение.————————————————————————-13

IV. Список литературы —————————————————————14

        

I. Введение.

        

         Построение графиков функций одна их интереснейших тем в школьной математике. Один из крупнейших математиков нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это – построение графиков – является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются. Например, если написано , то вы сразу видите параболу; если , вы видите параболу, опущенную на четыре единицы; если же , то вы видите предыдущую параболу, перевернутую вниз. Такое умение видеть сразу формулу, и ее геометрическую интерпретацию – является важным не только для изучения математики, но и для других предметов. Это умение, которое остается с вами на всю жизнь, подобно умению ездить на велосипеде, печатать на машинке или водить машину».

        Хотя уравнения с модулями мы начали изучать уже с 6-го – 7-го класса, где мы проходили самые азы уравнений с модулями, я выбрала именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах построения графиков, содержащих знак абсолютной величины.

        Цель работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

        Объект исследования: линейные функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

        Методы исследования: построение графиков функций.

II. Основная часть.

1. Историческая справка.

          В первой половине ХVII века начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Так, французские математики Пьер Ферма (1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты тоски кривой от ее абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки. 

        Термин «функция» (от латинского function – исполнение , совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц(1646-1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли(1667-1748) и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер(1707-1783) рассматривали функцию как аналитическое выражение. У Эйлера имеется и общее понимание функции как зависимости одной переменной величины от другой.

            Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании  и других точных науках.

В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного  архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

      Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна  a, если a    больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:

   Из определения следует, что для любого действительного числа a,

2. Геометрическая интерпретация понятия модуля |

Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, это точка будет геометрическим изображением данного действительного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует её расстояние от начало отсчета, или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке. Длина отрезка всегда рассматривается как величина неотрицательная.   Геометрической интерпретацией действительного числа служит вектор, выходящий из начала отсчета и имеющий конец в точке, изображающей данное число. Длина этого вектора будет геометрической интерпретацией модуля данного действительного числа.

                                 

                                   -а                                     0                                   а

                             

                              3. График функции у=f |(х)|

у=f |(х)| — четная функция, т.к. | х | = | -х |, то f |-х| = f | х |

График этой функции симметричен относительно оси координат.

Следовательно, достаточно построить график функции у=f(х) для х>0,а затем достроить его левую часть, симметрично правой относительно оси координат.

Например, пусть графиком функции у=f(х) является кривая, изображенная на рис.1, тогда графиком функции у=f |(х)| будет кривая, изображенная на рис.2.

                                                                                      Рис.1          

                                                                                       Рис.2.

1. Построить график функции у= |х|

  1. Если х≥0, то |х| =х  и наша функция у=х, т.е. искомый график совпадает с биссектрисой первого координатного угла.
  2. Если х

Таким образом, искомый график есть ломанная, составленная из двух полупрямых. (Рис.3)

Из сопоставления двух графиков: у=х и у= |х|, я сделала  вывод, что второй получается из первого зеркальным отображением относительно ОХ той части первого графика, которая лежит под осью абсцисс. Это положение вытекает из определения абсолютной величины.

Можно ли применять этот метод построения графиков дл квадратичной функции, для графиков обратной пропорциональности, содержащие абсолютную величину?  Для этого я рассмотрела несколько  функций, и сделала для себя вывод.

 2. Например: у=х2 — |х| -3

а) Строю  у=х2 -х -3 для х>0.

Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. а = , а > 0

  1. х0 = —

 у0 =-4

(2; -4) – координаты вершины параболы.

  1. х=0, у= -3

(0; — 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ.

  1. у =0,  х2 -х -3 = 0

                  х2 -4х -12 = 0  Имеем, х1= — 2; х2 = 6.

(-2; 0) и (6; 0) – координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Если х

Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х0.

б) Поэтому достраиваю для х

   

Вывод: Для построения графика функции у=f |(х)|  

  1. Достаточно построить график функции у=f(х) для х>0;
  2. Строить для х

                                         4. График функции у = | f (х)|          

 По определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий:

у=f(х), если f(х) ≥0;  у  = — f(х), если f(х)

Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то | f (х)|  = f(х), значит в этой части график  функции у = | f (х)|  совпадает с графиком самой функции у=f(х). Если же f(х) f (х)| = — f(х),т.е. точка (х; | f (х)|  ) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ «отрицательную» часть графика.

1. Построить график функции у= | х2 – х – 6 |.

а) Построить график функции у=  х2 – х – 6 . Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены вверх, т.к. а = 1, а >1.

 х0 = —

у0  = —       (1/2; — 6,25) координаты вершины

х=0; у = -6              (0; -6) координаты точки пересечения с осью ОУ.

у= 0, х2 – х – 6=0

    х1 = -2; х2 = 3.   (-2;0) и (3;0) –координаты точек пересечения с осью ОХ

б) Часть графика, расположенного в нижней полуплоскости, отобразить симметрично оси ОХ. (Рис.5)

Вывод: Для построения графика функции у=|f(х) |  

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х)

(Рис.6, 7.)

     

                          5. График функции  у=|f |(х)| |

Применяя, определение абсолютной величины и исследуя, графиков функции

у = | 2 · |х | — 3|

у = | х2 – 5 · |х| |

у = | |х3 | — 2 |, я нашла алгоритм построения графиков.

 Для того чтобы построить график функции у=|f |(х)|  | надо:

1. Построить график функции у=f(х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

1. у = | 2 · |х | — 3|

1) Строю  у = 2х-3, для х>0.   (1; -1)     (; 0)

2) Строю прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ.

3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси ОХ.  Рис.8

2. у = | х2 – 5 · |х| |

а) Строю график функции у = х2 – 5 х     для  х>0.

Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены, т.к. а=1, а>0

х0 = —;    

       у0  = 6,25 -12,5 = -6,25        (2,5; -6,25) – координаты вершины

х=0; у=0;                                     (0; 0) – координаты точки пересечения с осью ОУ

у=0;      х2 – 5 х =0                   (0; 0) и ( 5; 0) – координаты точек пересечения с осью ОХ.

х1 =0; х2=5

(Рис.9)

б) Строю  часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

3. у =| |х|3 | — 2 |

  а) Строю у=х3 -2 для х > 0.

     х1= 0; у1= -2

    у2 = 0; х3 -2 =0

                х2 =

 б) Строю  часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

 

 в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ. (Рис.10)

III. Заключение.

При выполнении исследовательской  работы я делала такие выводы:

— сформировала алгоритмы построения графиков  функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

Алгоритм построения графика функции у=f |(х)|  

    1.Построить график функции у=f(х) для х>0;

2.Построить для х

Алгоритм построения графика функции у=|f(х) |  

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х)

Алгоритм построения графика функции у=|f |(х)|  |

1. Построить график функции у=f(х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

   — приобрела опыт построения графиков таких функций, как:

                                у=f |(х)|; у = | f (х)|;  у=|f |(х)| |;

    — научилась работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор

       научных сведений;

   — приобрела опыт выполнения графических работ на компьютере.

Список литературы:

  1. И. М.Гельфанд, Е.Г. Глаголева. Функции и графики. Издательство «Наука»
  2. Р.А. Калнин. Алгебра и элементарные функции. Издательство «Наука»
  3. М.К. Потапов, С.Н. Олехник. Конкурсные задачи по математики, Москва. «Наука»
  4. Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику.

Москва, «Просвещение».

у

0

х

0

у

х

х

у

х

у

Рис 3.

0

6

-6

-3

х

у

Рис.4

0

6

-6

-2

3

х

у

Рис.5

у

х

Рис.6

у

х

Рис.7

0

у

х

-3/2

3/2

-3

3

Рис.8

1

-1

-6

-6

0

5

5

Рис.9

-2

0

1

2

2

-2

у

х

Рис.10



Источник: nsportal.ru


Добавить комментарий